viernes, 5 de febrero de 2010

tercera semana de estudio

en esta tercera semana aprendi varias cosas sobre matemaricas por ejemplo:
las propiedades de la potenciacion

Propiedades de la potenciación ]

Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son:

Potencia de exponente 0

Cualquier número a \in\mathbb{R}\, elevado a 0, distinto de 0, es igual a 1

a^0 = 1\,

El caso especial 00 se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener.

Por ejemplo, puede argumentarse que 00 es el igual al valor del límite

\lim_{x\to 0^+} x^0

y como x0 = 1 para x \ne 0, dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede considerarse dicha expresión como el valor del límite

\lim_{x\to 0^+} 0^x

y como 0x = 0 para x \ne 0, dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma 00 puede corresponde a diferentes valores y por ello se considera indefinida.

El debate sobre el valor de la forma 00 tiene casi 2 siglos de antigüedad. Durante los primeros días del análisis matemático en que el fundamento formal del cálculo no se había establecido, era común aceptar que 00=1. Sin embargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del análisis, lista dicha forma en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los 1830s, Libri[1] [2] publicó un argumento para asignar 1 como valor de 00 y August Möbius[3] lo apoyó afirmando erróneamente que

\lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)} = 1\, siempre que \lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0.

Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un contraejemplo

{(e^{-1/t})}^t

cuyo límite cuando t\to0^+ es 1 / e, lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del incidente que 00 debería permanecer indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth (1992).[4]

En la actualidad, suele considerarse la forma 00 como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido. [5] [6] [7]

Para calcular límites cuyo valor aparente es 00 suele usarse la Regla de L'Hopital.

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.

a^1 = a \,

ejemplo:

54^1=54 \,

Multiplicacion de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base «a» es igual a la potencia de dicha base «a» y exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

a^m \cdot a^n = a^{m + n}

ejemplos:

9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5

Division de Potencias de Igual Base [editar]

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos (la misma base y se restan los exponentes):

\frac{a^m}{a^n}=a^{m - n}

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n".

(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
\Big(\frac{a}{b}\Big)^n = \frac{a^n}{b^n}

pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

(a + b)^m \neq a^m + b^m
(a - b)^m \neq a^m - b^m

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes.

En general:

a^b \neq b^a

Tampoco se cumple la propiedad asociativa:

a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{(b\cdot c)}=a^{b\cdot c}

Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad seguida de tantos ceros como indica la cifra del exponente.

Ejemplos:

10^2=100 \,
10^3=1.000 \,
10^4=10.000 \,
10^5=100.000 \,

Potencia de números complejos

Para cualquiera de los números reales a,b,c,d \, se tiene la identidad:

\left(a\,e^{i\,b}\right)^{\left(c\,e^{i\,d}\right)}=a^{c\,\cos d}\,e^{i\,\left( c\,\log a\,\sin d+b\,c\,\cos d\right)-b\,c\,\sin d}
TAMBIEN APRENDI SOBRE LAS PROPIEDADES DE LA RADICACION

Propiedades de la radicación


Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.

Ejemplo:

  • \sqrt[4]{x^3} = \ x^{3/4}.



Raíz de un producto [editar]

La raíz cuadrada de un producto A x B es igual al producto de la raíz cuadrada de "A" por la raíz cuadrada de "B"


\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3\cdot 4 = 12


Y si se multiplica z x dentro del radical, el resultado será el mismo:


\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12

Raíz de un cociente [editar]

El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador....


  • \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

Ejemplo:


  • \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}


Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.


  • \sqrt[3]{\frac{x^3}{y^9}} = \frac{x^{3/3}}{y^{9/3}} = \frac{x}{y^3}



Ejemplo:

  • (\sqrt[4]{a^2})^8 = (\ a^{2/4})^8 = \sqrt[4]{a^{16}}

Raíz de una raíz [editar]

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.

\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n.m]{a}

Ejemplo:

\sqrt[7]{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[21]{5}

POR SUPUESTO ESTA SEMANA APRENDI MUCHO DE DESIGUALDADES PRINCIPALMENTE DE LAS INECUACIONES LINEALES .
EJEMPLO:

3x-5>x+7= 3x-x>7+5
2x>12
x>6


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2 comentarios:

  1. Carlos E. Cano R6 de febrero de 2010, 8:54

    Me encanta el trabajo que hiciste, pero me surge la pregunta ¿todo lo que copiaste si lo entiendes? hablas de limites la potencia de cero a la cero etc.

    Trata de hacerlo más desde lo que entiendes no se trata de copiar y pegar!!!!

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  2. Carlos E. Cano R16 de febrero de 2010, 14:42

    No has adelanatado???

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