Progresiones geométricas.

Observemos las potencias de 10 que resultan de la sucesión an = 10n-1.
1, 10, 102, 103, 104, 105,...
Cada término de esta sucesión es igual al anterior multiplicado por 10. Esta sucesión es una progresión geométrica.
Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón, que se representa por r.

Según la definición anterior, en la progresión geométrica a1, a2, a3, a4, a5,..., an, se verifica:

a2 = a1 · r
a3 = a2 · r = a1 · r · r = a1 · r 2
a4 = a3 · r = a1 · r 2 · r = a1 · r 3
Generalizando este proceso se obtiene el término general:
an = a1 · r n - 1

Ejemplos:

¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 3, 6, 12,...? La razón se obtiene dividiendo un término por el anterior: r = 6 : 3 = 2.
¿Cuál es el quinto término de una progresión geométrica en la que a1 = 2 y r = 3? Podemos ir hallando cada uno de los términos (2, 6, 18, 54, 162,...) multiplicando cada término por 3. También se puede obtener directamente: a5 = a1 · r 5 - 1 = a1 · r 4 → a5 = 2 · 3 4 = 2 · 81 = 162 Se puede conseguir otra expresión para el término general en función de otro término cualquiera, en lugar del primer término. Como an = a1 · r n - 1 y ak = a1 · r k - 1, despejando a1 en ambas expresiones e igualando resulta:
an = ak · r n - k

Interpolación de términos.

Supongamos que queremos intercalar entre 3 y 96 cuatro números a, b, c y d de manera que 3, a, b, c, d, 14 estén en progresión geométrica.
Tenemos que a1 = 3, a6 = 96 y n = 6. Aplicando la expresión del término general de una progresión geométrica, se tiene que:

a6 = a1 · r 5 → 96 = 3 · r 5 → 32 = r 5 → r = 2

Por tanto, la progresión geométrica es: 3, 6, 12, 24, 48, 96.

Este problema, que consiste en intercalar varios términos entre dos dados, se denomina interpolación. Los términos que hemos hallado se llaman medios geométricos o proporcionales.

2.2.3.- Producto de n términos consecutivos.

Observemos que en la progresión geométrica:
3, 6, 12, 24, 48

el producto de los términos extremos es:
3 · 48 = 144
y que el producto de los términos equidistantes de los extremos es también 144.

En general, en una progresión geométrica limitada se verifica:
a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an

En una progresión geométrica limitada, el producto de los términos equidistantes de los

extremos es igual al producto de los extremos.
Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula del producto de n términos consecutivos de una progresión geométrica. Llamemos Pn al producto de los n términos y escribamos el producto dos veces, invirtiendo los factores en una de ellas.

Pn = a1 · a2 · ... · an-1 · an
Pn = an · an-1 · ... · a2 · a1 X
Multiplicando las dos igualdades resulta:
Pn2 = (a1 · an) · (a2 · an-1) · ... · (an-1 · a2) · (an · a1)
Como hay n paréntesis y el valor de cada uno es (a1 · an) se tiene:
Pn2 = (a1 · an) · (a1 · an) · ... · (a1 · an) = (a1 · an) n
de donde:
2.2.4.- Suma de n términos consecutivos.

Si queremos calcular la suma de los términos de la progresión geométrica limitada a1, a2, a3,..., an-1, an, escribimos la suma Sn de los n términos y después multiplicamos por la razón.
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Sn· r = a1· r + a2· r + ... + an-1· r + an· r

Ahora restamos Sn· r - Sn teniendo en cuenta que a1· r = a2, a2· r = a3, etc.
Sn· r - Sn = an· r - a1 → Sn· (r - 1) = an· r - a1,
de donde:

Usando la expresión del término general de una progresión geométrica an = a1· rn, se puede

obtener la fórmula de la suma en función de a1 y r así:

2.2.5.- Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente.

La progresión an = 2 · 10 1 - n → 2, 2/10, 2/100, 2/1000, ... es una progresión geométrica de razón positiva y menor que 1 (r = 1/10), es decir, es una progresión geométrica decreciente e ilimitada y sus términos se hacen cada vez menores, pudiendo llegar a ser más pequeños que cualquier número dado.

Para obtener la fórmula de la suma de estas progresiones multiplicamos por -1 el numerador y el denominador de la fórmula anterior:
Si r es positivo y menor que la unidad, por ejemplo r = 1/100, ¿qué ocurre con la suma anterior al crecer n?
La primera fracción permanece constante, pues no depende de n, pero rn se hace tan pequeño como queramos. Por esta razón, para hallar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente se utiliza esta fórmula:

2.3.- Interés simple e interés compuesto.

Una aplicación clara de las progresiones geométricas es el interés compuesto. Vamos a verlo con un ejemplo y recordando previamente el interés simple.
Cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco paga intereses. Dependiendo de que se retiren o no los intereses periódicamente, el interés se llama simple o compuesto.
¿En cuánto se convierte un capital de 1.600.000 ptas. al 10 % en dos años a interés simple? ¿Y a interés compuesto?
Veamos cada caso por separado:

2.3.1.- Interés simple.
Como el interés que produce 1 peseta en 1 año es de 10/100 ptas. = 0,1 ptas., el interés total es:
1.600.000 · 0,1 = 160.000 ptas.
Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo: 1.600.000 ptas.

En el segundo año, el capital vuelve a producir otras 160.000 ptas.
En los dos años el interés producido es:
160.000 + 160.000 = 320.000 ptas.
Por tanto, el capital se convierte en los dos años en:
1.600.000 + 320.000 = 1.920.000 ptas.
Se puede obtener directamente el interés en los dos años:
i = 1.600.000 · 0,1 · 2 = 320.000 ptas.

En general, si C es el capital, r es el tanto por ciento anual y t es el tiempo en años, entonces el interés simple es:
Si el tiempo viene dado en meses la fórmula es:
Si el tiempo viene expresado en días la fórmula es:

2.3.2.- Interés compuesto.

En el primer año la ganancia del capital es la misma estando depositado a interés simple o a interés compuesto: 160.000 ptas.
Al final del primer año las 160.000 ptas. ganadas no se retiran, por lo que el capital, al empezar el segundo año, es de 1.760.000 ptas.
En el segundo año el interés que 1.760.000 ptas. producen es:
1.760.000 · 0,1 = 176.000 ptas.
En los dos años el interés producido es:
160.000 + 176.000 = 336.000 ptas.
Por tanto, el capital de 1.600.000 ptas. se convierte en los dos años en:
1.600.000 + 336.000 = 1.936.000 ptas.
Se puede obtener directamente el capital final al cabo de los dos años:
C = 1.600.000 · (1 + 0,1)2 = 1.936.000 ptas.
En general, el capital final (Ct) que se obtiene a partir de un capital C en t años, al tanto por ciento anual r es:C1=(1+R/100) A LA 2

SUCECION ARITMETICA

es una serie de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante , cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia o incluso "distancia".
Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2.El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión.
Fórmula del término general de una progresion aritmetica: (d=diferencia)
Si el término inicial de una progresión aritmética es y la diferencia común es , entonces el término -ésimo de la sucesión viene dada por
, n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.
n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.
La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, pero emplea una terminología más confusa, ya que no es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal.

EJEMPLOS:


EJEMPLO A:

Notemos la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…
La diferencia entre cualquier término y el anterior es 3, de modo que el término general sería 3n + b.
Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.
De esta forma, 3(1) + b = 8, y por lo tanto b = 5.
Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 3n + 5.
Si queremos encontrar el término 25 de la sucesión, sustituimos 25 en la anterior fórmula:
3(25) + 5 = 80. De modo que el término 25 de la sucesión tiene el valor de 80.
Si queremos encontrar la suma de los primeros 12 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula (1) arriba, con a = 3, b = 5 y n = 12:


EJEMPLO B:


Notemos la sucesión: –13, –19, –25, –31, –43, –49, –55,…
La diferencia entre cada término y el anterior es -6, de modo que el término general sería –6n + b.
Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.
De esta forma, –6(1) + b = –13, y por lo tanto b = –7.
Por lo tanto, el término general de la sucesión es: –6n – 7.
Si queremos encontrar el término 16 de la sucesión, sustituimos 16 en la anterior fórmula:
–6(16) – 7 = –103. De modo que el término 16 de la sucesión tiene el valor de –103.
Si queremos encontrar la suma de los primeros 30 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula (1) arriba, con a = –6, b = –7 y n = 30:

sucesiones y limites

LIMITE

el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo(especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integracióInformalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:
0 \ \ \exists \ \delta > 0 / \\ 0
Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:
"El límite cuando x tiende a c existe si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".n, entre otros.

La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a . Decimos que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), lo que denotamos como:

si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión a a cuando n crece sin cota. Formalmente:
0, \exists N>0 : \forall n\ge N, a_n - a

SUCESION

existencia de elementos encadenados o sucesivos.

Para definir término a término la sucesión, se indica para cada termino el valor que le corresponde directamente:
El primero es a por ejemplo 3,
el segundo es a por ejemplo -10,
el tercero es a por ejemplo 9, y así sucesivamente.
Para indicar, si hace falta, el comportamiento del resto de los valores, se usa el término general y se escribe acompañado como a por ejemplo número al azar, ... .
Los puntos suspensivos dan por entendido que los valores de la sucesión se omiten ya que estos quedan claramente determinados hasta el infinito, siendo el n-ésimo valor, , el portador del método para generar el valor de cada término, y el nombre puede ser cambiado, si hace falta, por , , , , ... .
Materialmente seria: 3, -10, 9, 7, ... , número al azar, ... .
] Sucesión finita
Diremos que una sucesión es finita si determinamos su último termino, por ejemplo el n-ésimo:
Genéricamente: , donde sería el término general si hiciese falta.
ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0.
] Sucesión constante
Diremos que una sucesión es constante si todos los términos valen , un número real cualquiera, ejemplo:
Genéricamente .
ejemplo: si queda como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , es decir, que todos los valores son el mismo, 1.
] Sucesión creciente
Si imponemos al termino general, de una sucesión numérica, la condición que , es decir, que el siguiente término, , siempre sea mayor estricto que su predecesor, , se llaman sucesiones estrictamente crecientes:
Para naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... .
Para enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ... .
Para reales: .
Si imponemos , es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.
Sucesión decreciente
Al igual que las crecientes tenemos, según el termino general, que:
si entonces la sucesión es decreciente,
si a_{i+1}" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/d/4/9d460ffb01e4c54999b7e5ef31245592.png"> es estrictamente decreciente.
Sucesión alternada
Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como an = ( − 1)n que nos genera la sucesión: 1, -1, 1, -1, 1, -1, ... . Utilizado por las series llamadas series alternas.
[Según el término general
El termino general de la sucesión queda definido de forma explícita si su valor está en función del valor del subíndice, es decir, si donde es una función cualquiera como por ejemplos:
que daría la sucesión de naturales sucesivos, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, ... .
que daría todos los número pares incluido el cero, es decir, 0, 2, 4, 6, 8, ... .
que daría la sucesión de cuadrados siguiente, 0, 1, 4, 9, 16, ... .
Dada una función , llamaremos extensión en los reales de a una función cuyos valores coinciden en el dominio de , es decir, .
Error fatal es nombrar a la extensión en los reales con el mismo nombre ¡!, pues, se trata de una asociación totalmente arbitraria y no univoca que trae confusión y no tiene sentido para algunas funciones definidas a trozos. Compruébese que solo si la sucesión que determinan sobre los enteros es la misma, pero ¡no son la misma función!, llamemos a la extendida por ejemplo o si es un polinomio, o o si son funciones trigonométricas, agregando subíndices si hace falta.
La función f puede adquirir propiedades de la extendida P, si existe P con dichas propiedades, como límites al infinito, monotonía, acotaciones... .
Casos en los que f no puede extenderse sobre los reales:
si definimos un como el número de factores propios de n.
funciones aritméticas, como la función fi de Euler o la Función de Möbius µ.
El término general de la sucesión queda definido de forma implícita si su valor depende de sus predecesores, esto se indica en general del modo siguiente:
Dados previamente los valores de , podemos definir el término general de forma inductiva
como = n" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/f/9/0f92fd30b401f46dd4d7095756fabe43.png"> como por ejemplo con la ecuación en diferencias = n, \; a_0, \; ... \; , \; a_n, \; b_n \in \mathbb{R} " src="http://upload.wikimedia.org/math/e/d/1/ed10e8accf3c63d948fbfb391afbdf2a.png">.