Progresiones geométricas.

Observemos las potencias de 10 que resultan de la sucesión an = 10n-1.
1, 10, 102, 103, 104, 105,...
Cada término de esta sucesión es igual al anterior multiplicado por 10. Esta sucesión es una progresión geométrica.
Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón, que se representa por r.

Según la definición anterior, en la progresión geométrica a1, a2, a3, a4, a5,..., an, se verifica:

a2 = a1 · r
a3 = a2 · r = a1 · r · r = a1 · r 2
a4 = a3 · r = a1 · r 2 · r = a1 · r 3
Generalizando este proceso se obtiene el término general:
an = a1 · r n - 1

Ejemplos:

¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 3, 6, 12,...? La razón se obtiene dividiendo un término por el anterior: r = 6 : 3 = 2.
¿Cuál es el quinto término de una progresión geométrica en la que a1 = 2 y r = 3? Podemos ir hallando cada uno de los términos (2, 6, 18, 54, 162,...) multiplicando cada término por 3. También se puede obtener directamente: a5 = a1 · r 5 - 1 = a1 · r 4 → a5 = 2 · 3 4 = 2 · 81 = 162 Se puede conseguir otra expresión para el término general en función de otro término cualquiera, en lugar del primer término. Como an = a1 · r n - 1 y ak = a1 · r k - 1, despejando a1 en ambas expresiones e igualando resulta:
an = ak · r n - k

Interpolación de términos.

Supongamos que queremos intercalar entre 3 y 96 cuatro números a, b, c y d de manera que 3, a, b, c, d, 14 estén en progresión geométrica.
Tenemos que a1 = 3, a6 = 96 y n = 6. Aplicando la expresión del término general de una progresión geométrica, se tiene que:

a6 = a1 · r 5 → 96 = 3 · r 5 → 32 = r 5 → r = 2

Por tanto, la progresión geométrica es: 3, 6, 12, 24, 48, 96.

Este problema, que consiste en intercalar varios términos entre dos dados, se denomina interpolación. Los términos que hemos hallado se llaman medios geométricos o proporcionales.

2.2.3.- Producto de n términos consecutivos.

Observemos que en la progresión geométrica:
3, 6, 12, 24, 48

el producto de los términos extremos es:
3 · 48 = 144
y que el producto de los términos equidistantes de los extremos es también 144.

En general, en una progresión geométrica limitada se verifica:
a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an

En una progresión geométrica limitada, el producto de los términos equidistantes de los

extremos es igual al producto de los extremos.
Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula del producto de n términos consecutivos de una progresión geométrica. Llamemos Pn al producto de los n términos y escribamos el producto dos veces, invirtiendo los factores en una de ellas.

Pn = a1 · a2 · ... · an-1 · an
Pn = an · an-1 · ... · a2 · a1 X
Multiplicando las dos igualdades resulta:
Pn2 = (a1 · an) · (a2 · an-1) · ... · (an-1 · a2) · (an · a1)
Como hay n paréntesis y el valor de cada uno es (a1 · an) se tiene:
Pn2 = (a1 · an) · (a1 · an) · ... · (a1 · an) = (a1 · an) n
de donde:
2.2.4.- Suma de n términos consecutivos.

Si queremos calcular la suma de los términos de la progresión geométrica limitada a1, a2, a3,..., an-1, an, escribimos la suma Sn de los n términos y después multiplicamos por la razón.
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Sn· r = a1· r + a2· r + ... + an-1· r + an· r

Ahora restamos Sn· r - Sn teniendo en cuenta que a1· r = a2, a2· r = a3, etc.
Sn· r - Sn = an· r - a1 → Sn· (r - 1) = an· r - a1,
de donde:

Usando la expresión del término general de una progresión geométrica an = a1· rn, se puede

obtener la fórmula de la suma en función de a1 y r así:

2.2.5.- Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente.

La progresión an = 2 · 10 1 - n → 2, 2/10, 2/100, 2/1000, ... es una progresión geométrica de razón positiva y menor que 1 (r = 1/10), es decir, es una progresión geométrica decreciente e ilimitada y sus términos se hacen cada vez menores, pudiendo llegar a ser más pequeños que cualquier número dado.

Para obtener la fórmula de la suma de estas progresiones multiplicamos por -1 el numerador y el denominador de la fórmula anterior:
Si r es positivo y menor que la unidad, por ejemplo r = 1/100, ¿qué ocurre con la suma anterior al crecer n?
La primera fracción permanece constante, pues no depende de n, pero rn se hace tan pequeño como queramos. Por esta razón, para hallar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente se utiliza esta fórmula:

2.3.- Interés simple e interés compuesto.

Una aplicación clara de las progresiones geométricas es el interés compuesto. Vamos a verlo con un ejemplo y recordando previamente el interés simple.
Cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco paga intereses. Dependiendo de que se retiren o no los intereses periódicamente, el interés se llama simple o compuesto.
¿En cuánto se convierte un capital de 1.600.000 ptas. al 10 % en dos años a interés simple? ¿Y a interés compuesto?
Veamos cada caso por separado:

2.3.1.- Interés simple.
Como el interés que produce 1 peseta en 1 año es de 10/100 ptas. = 0,1 ptas., el interés total es:
1.600.000 · 0,1 = 160.000 ptas.
Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo: 1.600.000 ptas.

En el segundo año, el capital vuelve a producir otras 160.000 ptas.
En los dos años el interés producido es:
160.000 + 160.000 = 320.000 ptas.
Por tanto, el capital se convierte en los dos años en:
1.600.000 + 320.000 = 1.920.000 ptas.
Se puede obtener directamente el interés en los dos años:
i = 1.600.000 · 0,1 · 2 = 320.000 ptas.

En general, si C es el capital, r es el tanto por ciento anual y t es el tiempo en años, entonces el interés simple es:
Si el tiempo viene dado en meses la fórmula es:
Si el tiempo viene expresado en días la fórmula es:

2.3.2.- Interés compuesto.

En el primer año la ganancia del capital es la misma estando depositado a interés simple o a interés compuesto: 160.000 ptas.
Al final del primer año las 160.000 ptas. ganadas no se retiran, por lo que el capital, al empezar el segundo año, es de 1.760.000 ptas.
En el segundo año el interés que 1.760.000 ptas. producen es:
1.760.000 · 0,1 = 176.000 ptas.
En los dos años el interés producido es:
160.000 + 176.000 = 336.000 ptas.
Por tanto, el capital de 1.600.000 ptas. se convierte en los dos años en:
1.600.000 + 336.000 = 1.936.000 ptas.
Se puede obtener directamente el capital final al cabo de los dos años:
C = 1.600.000 · (1 + 0,1)2 = 1.936.000 ptas.
En general, el capital final (Ct) que se obtiene a partir de un capital C en t años, al tanto por ciento anual r es:C1=(1+R/100) A LA 2